Hai, teman-teman! Kalian pasti sudah sangat familiar dengan lingkaran, ya kan? Nah, di dalam matematika, garis singgung persekutuan luar pada lingkaran juga memiliki peranan penting. Garis singgung ini mempunyai sifat-sifat khusus yang harus kita ketahui, terutama jika kalian sedang belajar tentang persamaan lingkaran. Yuk, kita bahas pengertian garis singgung persekutuan luar pada lingkaran lebih dalam!
Pengenalan tentang Garis Singgung Persekutuan Luar
Garis singgung persekutuan luar adalah garis yang menyentuh lingkaran dari luar. Ini disebut persekutuan luar karena lokasinya berada di luar lingkaran. Garis singgung persekutuan luar adalah garis lurus yang hanya menyentuh lingkaran di satu titik. Titik tempat garis menyentuh lingkaran disebut sebagai titik singgung. Garis singgung persekutuan luar memiliki banyak aplikasi dalam matematika dan fisika, khususnya dalam pengukuran jarak dan pergerakan benda bergerak melingkar.
Persekutuan luar dapat digambarkan dengan menggambar dua lingkaran dengan ukuran yang berbeda dan dengan jarak tertentu di antara pusat lingkaran. Ketika sebuah garis ditarik dari pusat lingkaran yang lebih kecil hingga menyentuh lingkaran besar, garis tersebut disebut sebagai jari-jari. Garis lainnya yang menyentuh pusat lingkaran yang lebih kecil dan berakhir di lingkaran yang lebih besar disebut sebagai garis singgung persekutuan luar. Garis ini disebut juga garis tangen.
Salah satu karakteristik utama dari garis singgung persekutuan luar adalah memiliki kemiringan dengan sudut 90 derajat terhadap jari-jari yang ditarik dari pusat lingkaran yang lebih kecil. Dengan demikian, garis singgung harus ditarik dengan sangat hati-hati agar menyentuh tepat di satu titik pada lingkaran dan memiliki sudut 90 derajat terhadap jari-jari untuk dapat dikatakan sebagai garis singgung persekutuan luar.
Fenomena garis singgung persekutuan luar banyak ditemukan pada objek di sekitar kita. Misalnya, di banyak ruangan, meja, dan kursi disajikan dalam bentuk lingkaran atau melingkar. Ketika kita duduk di kursi, kita dapat melihat bagaimana kaki kursi kita dan semua kaki kursi juga memiliki kontak titik singgung dengan lantai. Titik paling dalam pada kontak ini adalah titik singgung. Bentuk ini hadir karena titik singgung ini adalah titik yang paling stabil, dan memastikan agar kursi dan meja tidak mudah goyah.
Persekutuan juga sering diterapkan dalam ilmu fisika, terutama dalam bidang kinematika dan dinamika. Misalnya, ketika bola meluncur di atas permukaan tanah. Ketika bola mulai meluncur, itu akan menggulung dan sampai akhirnya berhenti setelah bola memantul beberapa kali. Kurva yang dibentuk oleh bola di atas permukaan tanah juga akan merujuk pada lingkaran. Pada titik-titik tertentu dalam pergerakan bola, garis singgung persekutuan luar harus tepat berada di bawah pusat bola. Dalam fisika, ini dikenal sebagai kondisi stabil dalam pergerakan saat bola saling berhubungan dengan permukaan tanah.
Dalam pengukuran jarak, garis singgung persekutuan luar sering diterapkan untuk mengukur jarak. Sebagai contoh, ketika kita ingin mengukur lebar sungai, kita dapat menggunakan dua tongkat kayu yang ditempatkan pada kedua sisi sungai. Menggunakan garis singgung persekutuan luar, kita dapat mengukur jarak antara kedua tongkat dengan mengukur panjang garis tangen dari ujung tongkat. Dalam aplikasi ini, garis tangen memastikan bahwa jarak yang diukur adalah yang terpendek, karena garis tangen selalu membentuk sudut 90 derajat dengan jari-jari lingkaran.
Secara umum, garis singgung persekutuan luar adalah garis yang tidak begitu sering kita bicarakan, namun memiliki aplikasi yang sangat penting dalam banyak konteks fisika dan matematika. Memahami konsep ini dapat membantu kita memahami fenomena di sekitar kita dan membuat kita lebih cepat dan praktis dalam mengukur jarak dan arah.
Cara Menghitung Garis Singgung Persekutuan Luar
Garispenghubung antara titik tengah dari garis yang menghubungkan pusat dua lingkaran dan segmen garis yang menghubungkan dua titik singgung dari lingkaran disebut sebagai garis singgung persekutuan luar. Garis ini sejajar dengan garis singgung persekutuan dalam dan memiliki titik singgung yang sama dengan garis singgung dalam..
Untuk menghitung garis singgung persekutuan luar, ada beberapa cara yang bisa dilakukan sebagai berikut:
1. Menggunakan Rumus
Salah satu rumus yang bisa digunakan untuk menghitung garis singgung persekutuan luar adalah sebagai berikut:
d = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²) – (r1 + r2)
d = jarak antara pusat dua lingkaran
x1 = koordinat x titik pusat lingkaran 1
y1 = koordinat y titik pusat lingkaran 1
x2 = koordinat x titik pusat lingkaran 2
y2 = koordinat y titik pusat lingkaran 2
r1 = jari-jari lingkaran 1
r2 = jari-jari lingkaran 2
Sebagai contoh, misalnya kita memiliki dua lingkaran dengan pusat (3, 4) dan (8, 2) serta jari-jari 5 dan 3, maka untuk menghitung garis singgung persekutuan luarnya, kita perlu menghitung jarak antara kedua pusat lingkaran terlebih dahulu. Dengan menggunakan rumus di atas, maka diperoleh:
d = √((8 – 3)² + (2 – 4)²) – (5 + 3) = √(25 + 4) – 8 = √29 – 8 = 0,385
Dengan demikian, garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran memiliki panjang sebesar 0,385.
2. Menggunakan Konstruksi Geometri
Selain menggunakan rumus, garis singgung persekutuan luar juga bisa dihitung dengan menggunakan konstruksi geometri. Caranya adalah sebagai berikut:
1. Gambarkan dua lingkaran dengan jari-jari yang berbeda dan bersinggungan satu sama lain.
2. Gambar garis yang menyambung titik tengah kedua lingkaran.
3. Garis tersebut akan memotong garis singgung persekutuan luar di titik singgung.
4. Hitung panjang garis singgung persekutuan luar dengan mengukur jarak antara titik singgung tersebut dengan titik-titik lain pada diagram.
Sebagai contoh, misalnya kita memiliki dua lingkaran dengan jari-jari 5 dan 3 serta bersinggungan satu sama lain. Gambar diagram dua lingkaran tersebut dan tentukan garis singgung persekutuan luarnya dengan menggunakan konstruksi geometri seperti yang dijelaskan di atas. Hasilnya akan sama dengan nilai yang diperoleh menggunakan rumus seperti pada contoh di atas.
Itulah cara menghitung garis singgung persekutuan luar pada lingkaran. Ada beberapa metode yang bisa dilakukan untuk menghitung garis singgung persekutuan luar, mulai dari menggunakan rumus hingga konstruksi geometri. Dengan menguasai teknik-teknik tersebut, kita dapat dengan mudah menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar pada lingkaran.
Keuntungan dari Mengetahui Garis Singgung Persekutuan Luar
Jika Anda tertarik dengan bidang matematika, maka pasti sudah tidak asing lagi dengan pengertian garis singgung persekutuan luar. Sebagai salah satu konsep dasar dalam matematika, garis singgung persekutuan luar memiliki banyak keuntungan yang dapat Anda pelajari. Berikut adalah beberapa keuntungan dari mengetahui garis singgung persekutuan luar:
1. Memahami Konsep Geometri Bidang Datar Secara Lebih Mendalam
Garis singgung persekutuan luar merupakan salah satu konsep dasar dalam geometri bidang datar. Dengan mempelajari garis singgung persekutuan luar, Anda akan memahami lebih mendalam tentang hubungan antara lingkaran dan segmen garis yang terhubung dengan lingkaran tersebut. Anda juga akan belajar tentang konsep sudut dalam geometri, serta cara menghitung ukuran sudut dengan menggunakan rumus yang sesuai.
Dalam geometri bidang datar, garis singgung persekutuan luar biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terkait dengan garis dan lingkaran. Misalnya, garis singgung persekutuan luar dapat digunakan untuk menunjukkan titik yang sama antara dua lingkaran yang berpotongan atau untuk menemukan garis yang melintang di antara dua lingkaran. Dengan memahami konsep garis singgung persekutuan luar, Anda akan lebih mudah dan cepat menyelesaikan masalah dalam geometri bidang datar.
2. Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah
Belajar tentang garis singgung persekutuan luar dapat meningkatkan kemampuan Anda dalam menyelesaikan berbagai masalah, terutama masalah matematika. Konsep garis singgung persekutuan luar banyak digunakan dalam matematika, baik itu di bidang geometri, trigonometri, maupun kalkulus. Dalam beberapa kasus, konsep garis singgung persekutuan luar bahkan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah praktis, seperti dalam perancangan bangunan atau pembuatan mesin.
Dalam pemecahan masalah, Anda harus mampu mengenali masalah dan menerapkan konsep-konsep yang sesuai dengan masalah tersebut. Dalam hal ini, pemahaman yang baik tentang garis singgung persekutuan luar dapat membantu Anda untuk mengenali masalah yang terkait dengan lingkaran dan garis, serta menemukan cara untuk menyelesaikan masalah tersebut.
3. Mengembangkan Kemampuan Berpikir Analitis
Belajar tentang garis singgung persekutuan luar juga dapat membantu Anda dalam mengembangkan kemampuan berpikir analitis. Dalam matematika, berpikir analitis adalah kemampuan untuk memecahkan masalah dengan menggunakan logika dan sejumlah pemikiran yang sistematis. Dalam hal ini, garis singgung persekutuan luar dapat membantu Anda untuk mengembangkan kemampuan berpikir analitis dengan cara memecahkan masalah matematika yang kompleks.
Untuk dapat memecahkan masalah matematika yang kompleks, dibutuhkan kemampuan untuk mengorganisir informasi, menganalisis hubungan antar unsur, dan menemukan solusi yang tepat. Kemampuan ini dapat ditingkatkan dengan mempelajari konsep-konsep dasar dalam matematika, termasuk konsep garis singgung persekutuan luar. Dalam hal ini, belajar tentang garis singgung persekutuan luar dapat membantu Anda untuk mengembangkan kemampuan berpikir analitis, yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari.
Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa mengetahui garis singgung persekutuan luar memiliki banyak keuntungan yang tidak hanya berlaku dalam bidang matematika, namun juga dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memahami konsep garis singgung persekutuan luar, Anda akan dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah, meningkatkan kemampuan berpikir analitis, dan memahami konsep dasar dalam geometri bidang datar. Oleh karena itu, jika Anda tertarik untuk mempelajari matematika, pastikan Anda memahami konsep dasar seperti garis singgung persekutuan luar dengan baik.
Perbedaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Persekutuan Dalam
Persamaan lingkaran melibatkan konsep garis singgung persekutuan yang bisa dideteksi dalam dua bentuk, yaitu persekutuan dalam dan persekutuan luar. Definisi garis singgung persekutuan dalam telah dijelaskan sebelumnya, bahwa garis singgung adalah garis yang menyinggung lingkaran dan memiliki titik singgung dengan lingkaran yang sama. Sebaliknya, garis singgung persekutuan luar merupakan garis yang menyinggung lingkaran, tetapi titik singgungnya ada di luar lingkaran.
Persekutuan dalam dan persekutuan luar pada dasarnya memiliki perbedaan dalam hubungan letak garis singgung terhadap lingkaran. Persekutuan dalam memiliki garis singgung yang bersentuhan pada bagian dalam lingkaran, sedangkan persekutuan luar memiliki garis singgung yang bersentuhan pada bagian luar lingkaran. Selain itu, terdapat perbedaan lainnya yang dapat dijelaskan sebagai berikut:
Garis Tangen Persekutuan Dalam dan Luar
Garis tangen persekutuan dalam dan luar adalah garis yang tampak sebagai garis singgung persekutuan tersebut. Garis tangen persekutuan dalam berada di dalam lingkaran dan memotong lingkaran dengan satu titik. Berbeda dengan garis tangen persekutuan dalam, garis tangen persekutuan luar berada di luar lingkaran dan juga memotong lingkaran dengan satu titik.
Jarak Antara Pusat Lingkaran dan Garis Singgung
Pada persekutuan dalam, jarak antara pusat lingkaran dan garis singgung adalah kurang dari jarak dari pusat lingkaran ke titik singgung. Sedangkan pada persekutuan luar, jarak antara pusat lingkaran dan garis singgung adalah lebih besar dari jarak dari pusat lingkaran ke titik singgung. Itu sebabnya, jarak pusat lingkaran ke garis singgung persekutuan dalam lebih pendek dibandingkan jarak pusat lingkaran ke garis singgung persekutuan luar.
Hubungan antara Dua Lingkaran
Jika terdapat dua lingkaran di mana salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain, maka garis singgung pada dua lingkaran ini dapat dianggap sebagai persekutuan dalam. Sebaliknya, jika dua lingkaran menyentuh satu sama lain pada satu titik saja, garis singgung bisa dianggap sebagai persekutuan luar. Dalam kasus di mana dua lingkaran tidak bersentuhan pada titik apa pun, berarti keduanya tidak memiliki garis singgung yang sama.
Persekutuan dalam dan persekutuan luar menjadi penting dalam perhitungan dalam matematika dan fisika. Sebagai contoh, dalam membahas hukum gravitasi Newton, jika kita mengasumsikan dua objek sebagai dua lingkaran dengan massa tertentu yang saling mempengaruhi, maka titik-titik singgung dengan dua lingkaran di Amerika serikat
karena gravitasi akan menjadi titik pusat massa di mana dua objek tidak memiliki gaya pada garis singgung. Namun, jika garis singgung di sekitar dua lingkaran itu menjadi persekutuan dalam, tekankannya pada gaya gravitasi akan kuat karena kedua objek masih akan saling menarik pada pusat massa, dan dampak ini akan berdampak pada besaran yang lebih besar dari akelerasi.
Kadang-kadang, dalam kasus lingkaran yang lebih besar, garis singgung biasanya terletak pada luar lingkaran, yang berarti garis singgung tersebut adalah persekutuan luar. Sebaliknya, jika lingkaran yang lebih kecil, garis singgungnya terletak di dalam lingkaran dan itu disebut sebagai persekutuan dalam.
Melalui penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa persekutuan dalam memiliki garis singgung pada bagian dalam lingkaran, sedangkan persekutuan luar memiliki garis singgung pada bagian luar lingkaran. Kedua jenis persekutuan tersebut juga memiliki perbedaan dalam hal hubungan letak garis singgung terhadap lingkaran, jarak antara pusat lingkaran dan garis singgung, dan hubungan antara dua lingkaran. Perbedaan ini penting diketahui untuk memahami konsep garis singgung persekutuan dengan lebih baik, terutama dalam aplikasinya dalam matematika dan fisika.
Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar dan Cara Penyelesaiannya
Garis singgung persekutuan luar dapat diartikan sebagai suatu garis yang menyentuh dua buah lingkaran dan berada diluar kedua lingkaran tersebut. Adapun cara mencari garis singgung persekutuan luar adalah dengan menggunakan aturan yang telah ditentukan.
Aturan yang diterapkan pada garis singgung persekutuan luar ini adalah:
- Garis singgung pada dua buah lingkaran selalu berada pada garis yang memotong jarum tengah garis yang menghubungkan dua pusat lingkaran.
- Jumlah garis tengah pada kedua lingkaran selalu sama dengan jumlah garis singgung persekutuan luar.
Berikut ini akan dijelaskan contoh soal garis singgung persekutuan luar dan cara penyelesaiannya:
Contoh soal: Dua lingkaran dengan pusat A dan B memiliki jari-jari 6 cm dan 10 cm. Tentukan jarak antara kedua pusat lingkaran jika garis singgung persekutuan luarnya sepanjang 12 cm.
Penyelesaian:
Langkah pertama yang dilakukan adalah menghitung jarak antara kedua pusat lingkaran menggunakan rumus sebagai berikut:
d = AB = √(x² + y²)
Gambar 1 menunjukkan kedua lingkaran dan garis singgung persekutuan luar pada kedua lingkaran.
Hal yang perlu dilakukan selanjutnya adalah menentukan posisi titik P dan titik Q pada gambar 1. Titik P dan titik Q menunjukkan titik-titik pada garis singgung persekutuan luar yang menyentuh kedua lingkaran.
Dalam contoh soal ini, dapat disimpulkan bahwa titik P dan titik Q adalah kutub dari kedua jarum tengah yang memotong garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran A dan titik pusat lingkaran B pada gambar 2.
Langkah selanjutnya adalah menghitung jarak antara titik pusat lingkaran A dan titik pusat lingkaran B.
Karena jarak antara kedua pusat lingkaran yang dicari, dapat menuliskan persamaan:
d = AB = x + y
Dalam gambar 2, dapat dilakukan beberapa penyelesaian dengan menghitung terlebih dahulu jarak A ke titik persimpangan garis tengah lingkaran yang melalui titik P dan garis tengah lingkaran yang melalui titik Q, sehingga:
$\frac{mP}{AP}$ = $\frac{AN}{AO}$ $\Rightarrow$ $\frac{mP}{AP}$ = $\frac{r}{x}$ $\Rightarrow$ $mP$ = $\frac{Ar}{x}$
$\frac{nQ}{BQ}$ = $\frac{BN}{BO}$ $\Rightarrow$ $\frac{nQ}{BQ}$ = $\frac{r}{y}$ $\Rightarrow$ $nQ$ = $\frac{Br}{y}$.
Dengan menggunakan Pythagoras, dapat menulis persamaan:
$AP^2$ = $r^2$ – $mP^2$ dan $BQ^2$ = $r^2$ – $nQ^2$
Dalam contoh soal ini, dapat ditentukan jarak x dan y menggunakan rumus sebagai berikut:
x = AP + BO
= $√(r^2$ – $mP^2$) + $√(r^2$ – $nQ^2$)
y = AQ + BO
= $√(r^2$ – $nP^2$) + $√(r^2$ – $mQ^2$)
Dengan substitusi nilai yang telah diketahui :
x = AP + BO
= $√(6^2$ – $(\dfrac{3 \times 10}{8})^2$) + $√(10^2$ – $(\dfrac{3 \times 6}{8})^2$)
= $√(3600$ – $\dfrac{9 \times 100}{16}$) + $√(10000$ – $\dfrac{9 \times 36}{16}$)|(9 . 100/16 = 56.25)||(9 . 36/16 = 20.25)
= $√(3600$ – $56.25$) + $√(10000$ – $20.25$)
= $√(3543.75$) + $√(9979.75$)
≈ 94,30 + 99,89
≈ 194,19 cm
y = AQ + BO
= $√(10^2$ – $(\dfrac{3 \times 6}{8})^2$) + $√(6^2$ – $(\dfrac{3 \times 10}{8})^2$)
= $√(10000$ – $\dfrac{9 \times 36}{16}$) + $√(3600$ – $\dfrac{9 \times 100}{16}$ ) |(9 . 36/16 = 20.25)| |(9 . 100/16 = 56.25)
= $√(9979.75$) + $√(3543.75)$
≈ 99,89 + 94,30
≈ 194,19 cm
Dari perhitungan diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa jarak antara kedua pusat lingkaran adalah sekitar 194,19 cm.
Dalam hal ini dapat diberikan kesimpulan bahwa garis singgung persekutuan luar memiliki pengaruh yang cukup besar pada jarak antara kedua lingkaran. Selamat mencoba!
Demikianlah pengertian garis singgung persekutuan luar pada lingkaran. Melalui penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa garis singgung persekutuan luar merupakan garis yang tegak lurus dengan jari-jari lingkaran pada titik tempat garis tersebut berpotongan dengan lingkaran. Garis singgung ini memiliki banyak sekali aplikasi dalam matematika dan fisika. Diharapkan penjelasan di atas dapat membantu pembaca untuk lebih memahami konsep garis singgung persekutuan luar pada lingkaran. Terima kasih telah membaca dan semoga bermanfaat!